Probleemgericht onderwijs bij rekenen-wiskunde

Terug naar rekenen-wiskunde  

 

Speleon koestert de opvatting dat probleemoplossen en onderzoeken als verstrengelde rode draden door het reken-wiskundeonderwijs heen moeten lopen.

Probleemoplossen

Probleemgericht 1Op het punt van probleemoplossen spreekt de didactische theorie van het Realistisch Reken-Wiskunde onderwijs zich duidelijk en positief uit. Daarvoor verwijzen we naar de leerlijnpublicatie Kinderen leren rekenen van het TAL-team 1.
Vooral in het afsluitende hoofdstuk over het onderwijskader en met name bij de didactische drieslag (blz. 154 e.v.) komt de probleemgerichtheid naar voren. Dat gebeurt al bij oefenen waar naast reproductief oefenen ook probleemoplossend oefenen aan bod komt. Vervolgens gaat het bij toepassen over problemen waarbij de leerlingen gestimuleerd worden de aanpak te kiezen die het beste bij het probleem past. En de drieslag wordt voltooid met “de voortdurende aandacht voor
probleemoplossen”.

Probleemgericht 2De problemen worden in het vakdidactisch jargon benoemd met ‘contextproblemen’ en ‘rijke problemen’. Aan dat laatste begrip wijdt Fred Goffree in  Wiskunde & Didactiek 2  een bijzondere hoofdstuk: Tussen schijn en werkelijkheid 2. Dat hoofdstuk gaat over probleemoplossen: rijke problemen, tekst en context. Ook in Kleuterwiskunde 3 schenkt Goffree aandacht aan probleemoplossen en daar nadrukkelijk in combinatie met redeneren. Dat gebeurt in het hoofdstuk over speelse denkactiviteiten.
Dezelfde relatie komt aan bod in het artikel Zweeds getallenraadsel van Pauline Vos. Zij legt direct verband  tussen redeneren en logische getallenveldpuzzels. Klein maar fijn!

Spel, puzzel en puzzelachtige problemen worden zeker gewaardeerd in de didactische theorie maar de aandacht ervoor blijft beperkt, in tegenstelling tot de aandacht voor rijke problemen / contextproblemen. Wel wordt in par. 3.5 van Wiskunde & Didactiek 2  een begrip besproken dat ook voor het oplossen van puzzels houvast biedt. Het gaat om aanwijzingen in de vorm van zoekregels die aangeduid worden met ‘heuristieken’. En het belang dat in Kleuterwiskunde wordt toegekend aan redeneren voor probleemoplossen bij rijke problemen is door te trekken naar logische (Japanse) puzzels zoals Sudoku, Kakuro en Fubuki.

In een tekst over probleemoplossen bij rekenen-wiskunde mag het klassieke werk over ‘mathematical problem-solving’ niet ontbreken. Het gaat om een boek uit 1957 van de hand van G. Pólya met de toepasselijke titel HOW to solve it 4. Dat boek is vertaald in het Nederlands onder de titel Heuristiek en wiskunde 5.
Problem 3Het boek bevat ter afronding 20 problemen, hints en oplossingen, zodat de lezer de theorie kan proberen toe te passen. Bovendien geeft de serie van 20 een beeld van de soort problemen waar het om gaat. Die soort is misschien het best te karakteriseren met het ouderwetse begrip ‘vraagstuk’. De afbeelding hiernaast bevat ‘problem 3’ uit de serie, een warming-up probleem voordat het formelere werk begint.
‘Problem 3’ is daarnaast een van de weinige problemen die ook door basisschoolleerlingen kan worden opgelost. En het aardige is dat kennis die je oppikt bij het oplossen van kakuropuzzels bij dit probleem inzetbaar is. Zie daarvoor Kakuro en probleemoplossen.
Wil men theorie over problem solving aan den lijve ervaren dan is  Problem Solving Through Recreational Mathematics 6  van Bonnie Averbach en Orin Chein een aanrader. Op blz. 11 presenteren Averbach en Chein “some steps in problem solving” die aansluiten bij de vier fasen voor probleemoplossen van Pólya (Pólya, blz. 5 e.v.).

(Wetenschappelijk) onderzoek van probleemoplossen
Op dit punt valt er door Speleon nog speurwerk te verrichten. Maar helemaal met lege handen staat het platform niet. Er is een Vlaams onderzoek uit 1998 over probleemoplossen in de bovenbouw van het primair onderwijs 7. En bij het Freudenthalinstituut is onderzoeksproject POPO uitgevoerd en afgerond met een proefschrift van Angeliki Kolovou 8. POPO staat voor ‘Probleem Oplossen in het Primair Onderwijs’. Het artikel Alles of niets, probleemoplossen door goede rekenaars 9 in het tijdschrift Volgens Bartjens vormt daarvoor een opstap. Van recenter datum is er in lijn met POPO nog een publicatie over probleemoplossen aan de hand van een online game 10.

Probleemoplossen en onderzoeken
Ten aanzien van onderzoeken heeft de realistische reken-wiskunde didactiek niet veel te bieden. Wel bevat het algemene kerndoel het volgende onderdeel: ‘onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden beschrijven en gebruiken’ (zie Kinderen leren rekenen, onderwijskader, blz. 147) maar de onderzoeksstrategieën blijven in de lucht hangen en komen in publicaties die ertoe doen hooguit terloops aan bod.
Speleon gaat ervan uit dat speels en onderzoekend leren een wisselwerking inhoudt tussen ‘iets te weten komen’ (kennis verwerven) en ‘onderzoekende houding’. Een onderzoekende houding leidt tot kennis en dat stimuleert weer de onderzoekende houding.
Die houding kan zich al openbaren bij probleemoplossen. Een strikte scheiding tussen probleemoplossen en onderzoeken wordt daarom niet zinvol geacht. Des te complexer het probleem is, des te meer zal het probleemoplossen lijken op onderzoeken.
De verwevenheid van probleemoplossen en onderzoeken komt ook naar voren bij de doelen van basisontwikkeling. ‘Onderzoeken, redeneren en probleemoplossen’ is een van de lange termijn doelen. Onderzoeken wordt vooral gezien als een basishouding in de voorwaardelijke sfeer. Zie daarvoor Basisontwikkeling voor peuters en de onderbouw 11 van Frea Janssen-Vos.

Van probleemgericht oefenen naar onderzoeken
Rond het jaar 2000 was er niet alleen sprake van een millenniumwisseling maar sloeg ook het denken over oefenen (bij rekenen-wiskunde) om. Naast het traditionele gericht oefenen verscheen het probleemgericht oefenen. In De kunst van het oefenen wordt daarop teruggekeken. Dat is gebeurd aan de hand van een klein literatuuronderzoek waarbij het tijdschrift Willem Bartjens (sinds sept. 2004:Volgens Bartjens) centraal staat.
In het artikel  Spelen op getallenvelden, van oefenen naar onderzoeken 12 van Leo Prinsen wordt oefenen anno 2000 uitgewerkt voor de spelomgeving ‘Spelen met getallenvelden’. In dat artikel wordt bovendien geschetst hoe probleemgericht oefenen binnen die spelomgeving kan bijdragen aan een onderzoekende houding.

 

Verwijzingen:

  1. Heuvel-Panhuizen, M van den, K. Buys & A. Treffers (red.) (2001). Kinderen leren rekenen. Groningen, Wolters-Noordhoff.
  2. Goffree, Fred (1992). Tussen schijn en werkelijkheid (hoofdstuk 3). In: Goffree, Fred. Wiskunde & Didactiek 2. Groningen, Wolters-Noordhoff.
  3. Goffree, Fred (2005). Kleuterwiskunde. Groningen/Houten, Wolters-Noordhoff.
  4. Pólya, G. (1990). HOW to solve it. London, Penguin Books.
  5. Polya, G. (1974). Heuristiek en wiskunde. Den Bosch, Malmberg.
  6. Averbach, Bonnie & Orin Chein (2000). Problem solving through recreational mathematics. Mineola, New York, Dover Publications.
  7. Verschaffel, L., E. de Corte, G. van Vaerenbergh, S. Lasure, H. Bogaerts & E. Ratinckx (1998). Leren oplossen van
    wiskundige contextproblemen in de bovenbouw van de basisschool
    . Leuven, Universitaire Pers.
  8. Kolovou, A. (2011). Mathematical problem solving in primary school (proefschrift). Utrecht, Utrecht University.
  9. Heuvel-Panhuizen, M. van den & C. Bodin-Baarends (2004). Alles of niets. Probleemoplossen door goede rekenaars. Volgens Bartjens, 24 (2), 12-14.
  10. Heuvel-Panhuizen, Marja van den, Angeliki Kolovou & Alexander Robitzsch (2013). Primary school students’ strategies
    in early algebra problem solving supported by an online game. In: Educational studies in mathematics, vol.84(3).
    Te downloaden via Freudenthal Instituut.
  11. Janssen-Vos, Frea (2008). Basisontwikkeling voor peuters en de onderbouw. Assen, Van Gorcum.
  12. Prinsen, Leo (2007). Spelen op getallenvelden: van oefenen naar onderzoeken. JSW, 91(9), 25-28. Zie archief 2007 (mei).